Ce n'est pas la définition en elle-même qui fait l'intérêt de la transformation de Laplace mais ses propriétés car elle permet de transformer un grand nombre de fonctions et comme elle est elle-même une transformation linéaire elle permet de faire en plus des combinaisons linéaires des fonctions transformées.

Les fonctions singulières: bolus, infusion IV et autres

La transformation de Laplace possède une étonnante propriété de simplification des fonctions singulières. Or, les  (ou ) sont précisément celles qui modélisent les modes d'administration des médicaments.

La fonction échelon unité u(t)

La fonction échelon unité est celle qui correspond à l'infusion intraveineuse continue d'une concentration constante unitaire autrement dit elle est égale à un pendant le temps où elle est installée. Mathématiquement, elle peut sembler facile à formuler mais sa prise en compte informatique se  montre beaucoup plus complexe.

La fonction impulsion unité δ(t)

La fonction impulsion unité est celle qui correspond à un bolus intraveineux donc une quantité fixe unitaire autrement dit elle est égale à un pendant un temps d'administration infiniment proche de zéro. Mathématiquement, elle est facile à formuler puisqu'elle est la dérivée de la fonction échelon unité.

La fonction rampe unité r(t)

La fonction rampe unité est celle qui correspond à l'installation progressive d'un échelon unité par exemple à l'aide d'un appareil automatique d'administration. Mathématiquement, elle est facile à formuler puisqu'elle est l'intégrale de la fonction échelon unité.

Quelques transformations de Laplace

La transformation de Laplace des fonctions élémentaires usuelles donnent un aperçu de son utilité en pharmacocinétique lorsqu'il faut les additionner ou les multiplier :

Le choix d'un outil mathématique

Lorsqu'on débute en pharmacocinétique, on est frappé par l'alignement des équations à base de fonction exponentielle. Et, la fonction exponentielle n'est pas particulièrement facile à additionner, diviser ou multiplier. Il faut donc trouver une méthode qui permette de la manipuler aisément d'une manière générique. Pour cela, on dispose classiquement des équations différentielles ordinaires mais on se demande toujours si cette solution n'est pas la pire car elle n'est guère intuitive. Comme l'administration d'un médicament est pseudo-périodique, on essaie aussi la transformation de Fourier. Mais, cette solution s'avère très rapidement trop ambitieuse pour un objectif pédagogique de première intention. Il reste la transformation de Laplace  (ou version anglaise) qui a l'avantage de posséder des propriétés de simplification des fonctions dites singulières et des fonctions exponentielles.

Finalement, l'utilisation de la transformation de Laplace s'avère couvrir la totalité des cas de figure en pharmacocinétique étudiés lors d'une administration non répétée d'une dose unique ou multiple. Autrement dit, tous les cas sans considération d'une période d'administration alors que ceux avec une période d'administration relèvent de l'utilisation de la transformation de Fourier ou de séries.

Définition de la transformation de Laplace

La transformation de Laplace correspond à un changement de variable où la variable de temps t est remplacée par une variable complexe s :

Les ressources indispensables

Pour introduire le sujet:

                            J.J. Di Stefano, A.R. Stubberud, I.J. Williams, Feedback and control systems, Schaum's outlines, Mac Graw Hill, 2013..

et quelques autres :